中3の相似が分からないときの立て直し方｜相似条件3つ、平行線と線分の比、面積比・体積比のつまずきと解き方
公開日 更新日 執筆：塾長 馬籠先生
2学期の期末テストの範囲に、相似が入ってきた。相似条件と合同条件がごちゃごちゃになる、線分の比の問題で比をどう置けばいいか分からないと言う。高校入試の図形にも出ると聞いて、焦っている。
結論からお伝えします。相似のつまずきは、「相似条件と合同条件の混同」「平行線と線分の比で、どの比を使うかの取り違え」「面積比・体積比を相似比のまま答える間違い」の3つに集中しています。相似条件3つを合同条件と並べて覚え、比の置き方の型と、面積比は2乗・体積比は3乗という関係を押さえれば、相似の問題は解けるようになります。
この記事は、オンライン学習塾マスネットが運営しています。保護者様も一緒に確認できるように、問題と答えを載せています。
相似とは何か
2つの図形の一方を拡大または縮小すると、もう一方に重なるとき、2つの図形は相似であるといいます。記号は「∽」を使います。
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 相似比 | 対応する辺の長さの比 |
| 相似な図形の性質 | 対応する辺の比はすべて等しく、対応する角はそれぞれ等しい |
合同は「形も大きさも同じ」、相似は「形が同じで、大きさは違ってもよい」という違いがあります。
相似条件と合同条件を、並べて覚える
相似のつまずきで最も多いのが、相似条件と合同条件の混同です。並べて覚えると、違いがはっきりします。
| 三角形の合同条件（中学2年生） | 三角形の相似条件（中学3年生） |
|---|---|
| 3組の辺がそれぞれ等しい | 3組の辺の比がすべて等しい |
| 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい | 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい |
| 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい | 2組の角がそれぞれ等しい |
合同条件の「辺が等しい」が、相似条件では「辺の比が等しい」になります。そして3つ目は、合同条件では辺と角が必要なのに対し、相似条件では2組の角だけで言えます。 相似の証明では、この「2組の角がそれぞれ等しい」が最もよく使われます。
証明の書き方は、合同の証明と同じ型です。
→ 中2の図形の証明が書けないときの書き方｜仮定と結論の見つけ方、合同条件3つと、そのまま使える証明の型
どこでつまずいているかが分かる確認問題
次の6問を、何も見ずに解いてみてください。
問1（相似比）
△ABC∽△DEF で、相似比は 2：3 です。AB＝6cm のとき、DE の長さを求めなさい。
問2（平行線と線分の比）
△ABC の辺 AB、AC 上にそれぞれ点 D、E があり、DE∥BC です。AD＝4cm、DB＝2cm、AE＝6cm のとき、EC の長さを求めなさい。
問3（平行線と線分の比）
問2と同じ図で、AB＝6cm、BC＝9cm のとき、DE の長さを求めなさい。ただし AD＝4cm とします。
問4（中点連結定理）
△ABC の辺 AB、AC の中点をそれぞれ M、N とします。BC＝10cm のとき、MN の長さを求めなさい。
問5（面積比）
相似比が 2：3 の2つの三角形の、面積比を求めなさい。
問6（体積比）
相似比が 2：3 の2つの立体の、体積比を求めなさい。
答えと解き方
| 問題 | 答え | 解き方 |
|---|---|---|
| 問1 | 9cm | 6：DE ＝ 2：3 より、DE ＝ 6 × 3 ÷ 2 ＝ 9 |
| 問2 | 3cm | AD：DB ＝ AE：EC より、4：2 ＝ 6：EC。EC ＝ 3 |
| 問3 | 6cm | AD：AB ＝ DE：BC より、4：6 ＝ DE：9。DE ＝ 6 |
| 問4 | 5cm | 中点連結定理より、MN ＝ BC ÷ 2 ＝ 5 |
| 問5 | 4：9 | 面積比は相似比の2乗。2²：3² ＝ 4：9 |
| 問6 | 8：27 | 体積比は相似比の3乗。2³：3³ ＝ 8：27 |
間違えた問題から、つまずいている場所が分かる
| 間違えた問題 | つまずいている場所 | 戻る単元 |
|---|---|---|
| 問1 | 比の式の解き方 | 比例式（a：b ＝ c：d なら ad ＝ bc） |
| 問2、問3 | どの比を使うかの取り違え | 平行線と線分の比の2つの型 |
| 問4 | 中点連結定理 | この単元の中点連結定理 |
| 問5、問6 | 面積比・体積比 | 相似比との関係（2乗・3乗） |
3つのつまずきの直し方
つまずき1：相似条件と合同条件を混同する
相似条件を覚えるときは、必ず合同条件と並べて書いてください。証明では、相似条件の言葉を一字一句正確に書く必要があります。
つまずき2：平行線と線分の比で、使う比を取り違える
問2と問3は、同じ図でも使う比が違います。ここが最も間違えやすいところです。
| 型 | 比の式 | 使う場面 |
|---|---|---|
| 型A（全体と部分） | AD：AB ＝ AE：AC ＝ DE：BC | DE や BC など、平行な線分の長さを求めるとき |
| 型B（部分と部分） | AD：DB ＝ AE：EC | 辺を区切った部分の長さだけを求めるとき |
DE：BC の比を使うときは、必ず型A（全体と部分）を使います。 AD：DB ＝ DE：BC とするのは、最も多い間違いです。
つまずき3：面積比・体積比を、相似比のまま答える
相似比が 2：3 のとき、面積比は 4：9、体積比は 8：27 です。面積比を 2：3 と答えてしまう間違いが多くあります。
| 比 | 相似比が a：b のとき |
|---|---|
| 長さの比（相似比） | a：b |
| 面積比 | a²：b² |
| 体積比 | a³：b³ |
「面積は縦と横の2つの長さをかけるので2乗、体積は縦・横・高さの3つをかけるので3乗」と理由で覚えると、忘れにくくなります。
高校入試の図形の大問は、相似が中心
公立高校入試の数学では、図形の大問で相似の証明や、相似を使った長さ・面積の計算が多くの都道府県で出題されます。円の性質（円周角の定理）や三平方の定理と組み合わせた問題もよく出ます。
相似は、中学3年生の2学期の期末テストと、高校入試の図形の両方につながる単元です。 期末テストに向けて立て直すことが、そのまま入試の準備になります。
関数と組み合わせた大問の対策は、別の記事にまとめています。
→ 中3の関数 y＝ax² が分からないときの立て直し方｜変域・変化の割合・放物線と直線の3つのつまずきと解き方
保護者様が一緒に確認するときのコツ
図を大きくかかせてください。 相似な図形を、向きをそろえて2つ並べてかくと、対応する辺が分かりやすくなります。
対応する頂点の順番を確認してください。 △ABC∽△DEF なら、AとD、BとE、CとFが対応しています。順番がずれると、比も間違えます。
「何の比を使った？」と聞いてください。 平行線と線分の比の問題では、全体と部分の比か、部分と部分の比かを確認するだけで、間違いの原因が分かります。
現場で見えたこと
相似の答案を見ると、最も多い間違いは平行線と線分の比の取り違えです。AD：DB ＝ DE：BC と比を置いてしまう。図の中で、どの線分とどの線分が対応しているかを確かめないまま、目に入った数字で比を作っているのです。
相似な三角形を2つに分けて、向きをそろえてかき直すと、多くの生徒さんがどの辺とどの辺が対応しているかに気づきます。図をかき直すという一手間で、比の取り違えはほとんどなくなります。
もう一つは、面積比です。相似比をそのまま面積比として答える間違いは、期末テストでも入試でも多く見られます。2乗と3乗を、理由と一緒に覚えることが、確実な得点につながります。
よくある質問
Q. 相似とは何ですか。
2つの図形の一方を拡大または縮小すると、もう一方に重なる関係です。対応する辺の比はすべて等しく、対応する角はそれぞれ等しくなります。
Q. 三角形の相似条件は何ですか。
「3組の辺の比がすべて等しい」「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」「2組の角がそれぞれ等しい」の3つです。証明では「2組の角がそれぞれ等しい」が最もよく使われます。
Q. 平行線と線分の比は、どう使い分けますか。
平行な線分の長さを求めるときは「全体と部分」の比（AD：AB ＝ DE：BC）、辺を区切った部分の長さを求めるときは「部分と部分」の比（AD：DB ＝ AE：EC）を使います。
Q. 面積比と体積比は、どう求めますか。
相似比が a：b のとき、面積比は a²：b²、体積比は a³：b³ です。
Q. 中点連結定理とは何ですか。
三角形の2辺の中点を結んだ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分になる、という定理です。
Q. 相似は高校入試に出ますか。
多くの都道府県で、図形の大問として相似の証明や、相似を使った長さ・面積の計算が出題されます。
次に読んでいただきたい記事
中学3年生で、冬からの塾を検討している場合はこちらをご覧ください。
→ 中学3年生の冬からの塾は間に合う？入試まで4か月でできることと、直前期に塾を選ぶときの注意点
相似でつまずいている方へ
相似のつまずきは、多くの場合、条件の混同、比の取り違え、面積比の3つにあります。どこで止まっているかが分かれば、期末テストまでに立て直せます。
マスネットでは、2つの入口をご用意しています。
答案を見て、どこでつまずいているかをお伝えします。
テストやワークの答案を写真で送っていただければ、相似のどこでつまずいているか、どこまで戻ればいいかをお伝えします。入塾の勧誘はいたしません。
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