中2の図形の証明が書けないときの書き方｜仮定と結論の見つけ方、合同条件3つと、そのまま使える証明の型
公開日 更新日 執筆：塾長 馬籠先生
2学期の期末テストの範囲に、図形の証明が入ってきた。答えは分かるのに、証明になると何を書けばいいのか分からないと言う。白紙で出してしまうこともある。家でどう教えればいいのか分からない。
結論からお伝えします。証明が書けない原因の多くは、図形の理解ではなく「書き方の型」を知らないことです。証明は、仮定（分かっていること）から結論（示したいこと）まで、根拠をつけて順番に並べる作業です。合同条件の3つと、根拠としてよく使う5つの言葉を覚え、型に沿って書く練習をすれば、証明は書けるようになります。
この記事は、オンライン学習塾マスネットが運営しています。保護者様も一緒に確認できるように、例題と証明の書き方を載せています。
証明とは何か
証明は、すでに正しいと分かっていることを根拠にして、示したいことが正しいことを順番に説明する文章です。
| 言葉 | 意味 | 問題文での見つけ方 |
|---|---|---|
| 仮定 | 問題で、はじめから分かっていること | 「〜のとき」「〜ならば」の部分 |
| 結論 | 証明して示したいこと | 「〜であることを証明しなさい」の部分 |
| 根拠 | 仮定から結論につなぐための、正しいと分かっていること | 合同条件、対頂角、平行線の性質など |
証明の最初にやることは、仮定と結論を図に書き込むことです。等しい辺に同じ印、等しい角に同じ印をつけると、何が分かっていて、何を示せばいいかが見えてきます。
三角形の合同条件：3つを正確に覚える
中学2年生の証明の多くは、三角形の合同を使います。合同条件は、次の3つです。
| 合同条件 | 必要なもの |
|---|---|
| 1. 3組の辺がそれぞれ等しい | 辺・辺・辺 |
| 2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい | 辺・角・辺（角は2つの辺の「間」） |
| 3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい | 角・辺・角（辺は2つの角の「間」） |
合同条件は、一字一句正確に書けるようにしてください。 証明では、合同条件を省略したり、言葉を変えたりすると減点されることがあります。
特に注意したいのは、2つ目の「その間の角」です。2組の辺と、その2つの辺にはさまれていない角が等しくても、合同とは言えません。
根拠としてよく使う5つの言葉
| 根拠 | 内容 |
|---|---|
| 仮定より | 問題で与えられていること |
| 共通な辺（共通な角） | 2つの三角形が、同じ辺や角を共有している |
| 対頂角は等しい | 2本の直線が交わってできる、向かい合った角は等しい |
| 平行線の錯角は等しい | 平行な2直線に1本の直線が交わってできる錯角は等しい |
| 平行線の同位角は等しい | 平行な2直線に1本の直線が交わってできる同位角は等しい |
証明の1行1行には、必ず「なぜそう言えるか」の根拠をつけます。根拠のない行は、証明として認められません。
例題で、証明の型を確認する
例題
線分ABと線分CDが点Oで交わっています。AO＝BO、CO＝DOのとき、AC＝BDであることを証明しなさい。
手順1：仮定と結論を確認する
| 内容 | |
|---|---|
| 仮定 | AO＝BO、CO＝DO |
| 結論 | AC＝BD |
手順2：どの三角形の合同を使うかを決める
結論のACとBDを辺に持つ三角形を探します。ACは△AOCの辺、BDは△BODの辺です。この2つの三角形が合同であることを示せば、AC＝BDが言えます。
手順3：等しい辺と角を集める
- AO＝BO（仮定）
- CO＝DO（仮定）
- ∠AOC＝∠BOD（対頂角）
2組の辺と、その間の角がそろいました。
手順4：型に沿って書く
証明
△AOCと△BODにおいて、
仮定より、AO＝BO …①
仮定より、CO＝DO …②
対頂角は等しいから、∠AOC＝∠BOD …③
①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△AOC≡△BOD
合同な図形の対応する辺は等しいので、
AC＝BD
そのまま使える証明の型
| 行 | 書くこと |
|---|---|
| 1行目 | 「△○○○と△○○○において、」と、どの三角形を比べるかを書く |
| 2〜4行目 | 等しい辺や角を、根拠と一緒に書き、①②③と番号をつける |
| 5行目 | 「①、②、③より、（合同条件）ので、」と合同条件を書く |
| 6行目 | 「△○○○≡△○○○」と合同を書く |
| 7行目 | 「合同な図形の対応する辺（角）は等しいので、」と結論につなぐ |
| 8行目 | 結論を書く |
対応する頂点の順番をそろえて書くことも大切です。△AOCと△BODなら、AとB、OとO、CとDが対応しています。順番がずれると、減点されることがあります。
証明が書けない3つのつまずき
| つまずき | 起きていること | 直し方 |
|---|---|---|
| 何から書けばいいか分からない | 仮定と結論を確認していない | まず図に、仮定の印をつける |
| どの三角形を使えばいいか分からない | 結論から逆にたどっていない | 結論の辺や角を持つ三角形を探す |
| 根拠が書けない | 対頂角や平行線の性質があいまい | 根拠の5つの言葉を、図と一緒に確認する |
証明は、結論から逆にたどると考えやすくなります。「ACとBDが等しいと言うには、何が言えればいいか」と考えると、使う三角形が決まります。
期末テストで点を取るために
証明は、定期テストで部分点がもらえることが多い問題です。白紙で出すより、分かるところまで書いた方が点数につながります。
仮定を書くだけでも、部分点になることがあります。 最後まで書けなくても、「△○○○と△○○○において、」と、仮定から分かることを書いてください。
穴埋めの証明から練習してください。 教科書やワークには、証明の一部が空欄になった問題があります。まず穴埋めで型に慣れてから、すべてを自分で書く問題に進むと、無理なく書けるようになります。
保護者様が一緒に確認するときのコツ
図に印をつけさせてください。 等しい辺や角に印をつけるだけで、何が分かっているかが見えます。
「なぜそう言えるの？」と聞いてください。 1行ごとに根拠を言えるかを確認すると、どこであいまいになっているかが分かります。
完璧な証明を求めないでください。 最初は穴埋めや、型を見ながら書くところから始めて大丈夫です。
現場で見えたこと
証明が書けない生徒さんの多くは、図形そのものは理解しています。どの角とどの角が等しいかを聞くと、正しく答えられるのです。それでも書けないのは、頭の中の理解を、決まった型の文章にする練習をしていないからです。
型を見ながら同じ形の証明を数問書くと、多くの生徒さんが自分で書けるようになります。最初の数問は型を見ながら、次の数問は型を隠して書く。この順番で練習すると、期末テストで白紙を出すことがなくなります。
証明は、中学3年生の相似の証明や、高校入試の図形の大問にもつながります。中学2年生のうちに型を身につけておくと、その後の図形の学習が大きく楽になります。
よくある質問
Q. 証明は何から書けばいいですか。
まず仮定と結論を確認し、図に等しい辺や角の印をつけてください。そのうえで、結論の辺や角を持つ三角形を探します。
Q. 三角形の合同条件は何ですか。
「3組の辺がそれぞれ等しい」「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」の3つです。一字一句正確に書けるようにしてください。
Q. 証明でよく使う根拠は何ですか。
「仮定より」「共通な辺（角）」「対頂角は等しい」「平行線の錯角は等しい」「平行線の同位角は等しい」の5つがよく使われます。
Q. 証明が最後まで書けません。白紙で出してもいいですか。
分かるところまで書いてください。仮定から分かることを書くだけでも、部分点になることがあります。
Q. 証明の練習は、どう進めればいいですか。
まず教科書やワークの穴埋めの証明で型に慣れ、次に型を見ながら書き、最後に型を隠して自分で書く順番で進めてください。
Q. 証明は高校入試にも出ますか。
多くの都道府県で、図形の証明が出題されます。中学3年生で学ぶ相似の証明も、同じ型で書きます。
次に読んでいただきたい記事
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証明でつまずいている方へ
証明が書けない原因の多くは、型を知らないことです。型に沿って練習すれば、証明は書けるようになります。
マスネットでは、2つの入口をご用意しています。
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