中3の関数 y＝ax² が分からないときの立て直し方｜変域・変化の割合・放物線と直線の3つのつまずきと解き方
公開日 更新日 執筆：塾長 馬籠先生
2学期の中間テストで、関数 y＝ax² の問題が解けなかった。一次関数はなんとかできたのに、変域や変化の割合になると答えが合わないと言う。高校入試にも出ると聞いて、焦っている。
結論からお伝えします。関数 y＝ax² のつまずきは、ほとんどが「変域」「変化の割合」「放物線と直線の交点」の3つに集中しています。どれも、一次関数と同じやり方で解こうとして間違えるのが原因です。一次関数との違いを押さえ、確認問題6問でつまずいている場所を見つけてください。この単元は、高校入試の関数の大問で毎年のように出題されます。
この記事は、オンライン学習塾マスネットが運営しています。保護者様も一緒に確認できるように、問題と答えを載せています。
関数 y＝ax² とは何か
関数 y＝ax² は、y が x の2乗に比例する関係です。グラフは「放物線」と呼ばれる、原点を通る左右対称の曲線になります。
| a の値 | グラフの形 | y の値 |
|---|---|---|
| a が正の数 | 上に開いた放物線（原点が一番低い点） | 0以上になる |
| a が負の数 | 下に開いた放物線（原点が一番高い点） | 0以下になる |
例えば y＝2x² なら、x が 1 のとき y は 2、x が 2 のとき y は 8、x が −2 のときも y は 8 です。x が正でも負でも、2乗すると正の数になるため、グラフは y 軸について左右対称になります。
一次関数との3つの違い
関数 y＝ax² でつまずく原因の多くは、一次関数と同じように考えてしまうことです。
| 比べる点 | 一次関数 y＝ax＋b | 関数 y＝ax² |
|---|---|---|
| グラフ | 直線 | 放物線（曲線） |
| 変化の割合 | いつも一定で、a と同じ | 一定ではなく、x の範囲によって変わる |
| 変域 | x の変域の両端から y の変域が決まる | x の変域が 0 をまたぐと、y の最小値（または最大値）は 0 になる |
一次関数は中学2年生で学んだ内容です。一次関数自体があいまいな場合は、先にそちらを立て直してください。
→ 中2の一次関数が分からないときの立て直し方｜つまずく5つの場所と、中1の比例まで戻る手順
どこでつまずいているかが分かる確認問題
次の6問を、何も見ずに解いてみてください。
問1（値を求める）
y＝2x² で、x＝−3 のときの y の値を求めなさい。
問2（式を求める）
y＝ax² のグラフが点 (2, 12) を通るとき、a の値を求めなさい。
問3（変化の割合）
関数 y＝x² で、x の値が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
問4（変域）
関数 y＝x² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 3 のときの y の変域を求めなさい。
問5（放物線と直線の交点）
放物線 y＝x² と直線 y＝x＋2 の交点の座標を求めなさい。
問6（三角形の面積）
問5の2つの交点を A、B とし、原点を O とするとき、三角形 OAB の面積を求めなさい。
答えと解き方
| 問題 | 答え | 解き方 |
|---|---|---|
| 問1 | y＝18 | 2 ×（−3）² ＝ 2 × 9 ＝ 18。−3 を2乗すると 9 になる |
| 問2 | a＝3 | 12 ＝ a × 2² より 12 ＝ 4a、a ＝ 3 |
| 問3 | 4 | x＝1 のとき y＝1、x＝3 のとき y＝9。(9 − 1) ÷ (3 − 1) ＝ 4 |
| 問4 | 0 ≦ y ≦ 9 | x の変域が 0 をまたぐので、y の最小値は x＝0 のときの 0。最大値は x＝3 のときの 9 |
| 問5 | (−1, 1)、(2, 4) | x² ＝ x ＋ 2 より x² − x − 2 ＝ 0、(x − 2)(x ＋ 1) ＝ 0。x ＝ 2、−1 |
| 問6 | 3 | 直線 y＝x＋2 と y 軸の交点 (0, 2) で三角形を2つに分ける。1/2 × 2 × 1 ＋ 1/2 × 2 × 2 ＝ 3 |
間違えた問題から、つまずいている場所が分かる
| 間違えた問題 | つまずいている場所 | 戻る単元 |
|---|---|---|
| 問1 | 負の数の2乗 | 中学1年生の正負の数 |
| 問2 | 式への代入と、方程式の解き方 | 中学1年生の方程式 |
| 問3 | 変化の割合の意味 | 中学2年生の一次関数の変化の割合 |
| 問4 | 変域の考え方 | この単元の変域（グラフをかいて確かめる） |
| 問5 | 二次方程式の解き方 | 中学3年生の二次方程式（因数分解） |
| 問6 | 座標を使った面積の求め方 | 一次関数の切片と、三角形の面積 |
問5は、1学期に学んだ二次方程式を使います。関数 y＝ax² は、二次方程式が解けることが前提になっている単元です。
3つのつまずきの直し方
つまずき1：変域で、両端だけを計算してしまう
問4で「4 ≦ y ≦ 9」と答えてしまうのが、最も多い間違いです。x＝−2 のとき y＝4、x＝3 のとき y＝9 と、両端だけを計算したためです。
x の変域に 0 が含まれるときは、y の最小値は 0 になります（a が正の場合）。放物線は原点が一番低い点なので、x が −2 から 3 まで動く間に、必ず原点を通るからです。
迷ったときは、必ずグラフを簡単にかいて確かめてください。 グラフを見れば、y が一番小さくなる点と一番大きくなる点がすぐに分かります。
つまずき2：変化の割合を a と答えてしまう
一次関数では、変化の割合はいつも a でした。しかし関数 y＝ax² では、変化の割合は x の範囲によって変わります。
変化の割合は、「y の増加量 ÷ x の増加量」で求めます。問3なら、(9 − 1) ÷ (3 − 1) ＝ 4 です。
なお、x の値が p から q まで増加するときの変化の割合は、a(p ＋ q) で求めることもできます。問3なら 1 ×（1 ＋ 3）＝ 4 です。ただし、まずは「y の増加量 ÷ x の増加量」で求められるようにしてから使ってください。
つまずき3：放物線と直線の交点が求められない
放物線と直線の交点は、2つの式を連立して解きます。 y を消去すると二次方程式になります。
問5なら、x² ＝ x ＋ 2 を整理して x² − x − 2 ＝ 0。因数分解して (x − 2)(x ＋ 1) ＝ 0 から、x ＝ 2、−1 です。
ここで止まる場合は、二次方程式の因数分解に戻ってください。
高校入試の関数の大問は、この単元が中心
公立高校入試の数学では、関数 y＝ax² と一次関数を組み合わせた大問が、多くの都道府県で毎年のように出題されます。
よく出る問題の流れは、次の通りです。
| 順番 | 問われること |
|---|---|
| 1 | 放物線の式を求める（問2の形） |
| 2 | 変域や変化の割合を求める（問3・問4の形） |
| 3 | 直線の式を求める（一次関数） |
| 4 | 交点の座標を求める（問5の形） |
| 5 | 三角形の面積を求める（問6の形） |
この記事の確認問題6問は、入試の関数の大問の流れとほぼ同じです。6問が全部解ければ、入試の関数の基本は身についています。
保護者様が一緒に確認するときのコツ
グラフをかかせてください。 変域や面積の問題で迷ったら、まずグラフをかく習慣をつけると、間違いが大きく減ります。
答えだけでなく、途中の式を見てください。 負の数の2乗、代入、因数分解のどこで間違えたかを一緒に探すと、戻るべき単元が分かります。
入試に出ることを、焦りの材料にしないでください。 「入試に出るのに」と言われると、生徒さんは焦るだけです。「6問のうち何問解けた？」と、できたことから話してください。
現場で見えたこと
関数 y＝ax² の答案を見ると、最も多い間違いは、問4のような変域の問題です。両端の値だけを計算して、原点を通ることを見落としてしまいます。グラフをかく習慣がない生徒さんほど、この間違いをします。
もう一つは、交点の問題で止まってしまうケースです。話を聞くと、関数が分からないのではなく、1学期の二次方程式の因数分解があいまいなままでした。関数の単元の点数が低い原因が、別の単元にあることは珍しくありません。
中学3年生の2学期は、定期テストの対策と受験勉強が重なる時期です。関数 y＝ax² は、定期テストの点数と、入試の関数の大問の両方につながる単元です。ここで立て直しておくと、2つの目標に同時に近づけます。
よくある質問
Q. 関数 y＝ax² とは何ですか。
y が x の2乗に比例する関係です。グラフは原点を通る左右対称の放物線になり、a が正なら上に開き、a が負なら下に開きます。
Q. 関数 y＝ax² の変化の割合はどう求めますか。
「y の増加量 ÷ x の増加量」で求めます。一次関数と違い、変化の割合は x の範囲によって変わります。x が p から q まで増加するときは、a(p ＋ q) でも求められます。
Q. 変域の問題でいつも間違えます。
x の変域に 0 が含まれるかを確認してください。含まれる場合、a が正なら y の最小値は 0 です。迷ったら、グラフをかいて確かめてください。
Q. 放物線と直線の交点はどう求めますか。
2つの式を連立して解きます。y を消去すると二次方程式になるので、因数分解などで解きます。
Q. 関数 y＝ax² は高校入試に出ますか。
一次関数と組み合わせた大問として、多くの都道府県で毎年のように出題されます。放物線の式、変域、交点、三角形の面積がよく問われます。
Q. 一次関数もあいまいです。どちらから始めればいいですか。
一次関数から始めてください。関数 y＝ax² の大問では、直線の式を求める問題も出るため、一次関数が土台になります。
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関数でつまずいている方へ
関数 y＝ax² のつまずきは、多くの場合、変域・変化の割合・交点の3つと、その前の単元にあります。どこで止まっているかが分かれば、立て直しは早く進みます。
マスネットでは、2つの入口をご用意しています。
答案を見て、どこでつまずいているかをお伝えします。
中間テストの答案を写真で送っていただければ、関数のどこでつまずいているか、どの単元まで戻ればいいかをお伝えします。入塾の勧誘はいたしません。
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