中2の一次関数が分からないときの立て直し方｜つまずく5つの場所と、中1の比例まで戻る手順
公開日 執筆：塾長 馬籠先生
2学期の中間テストで、一次関数の問題がほとんど解けなかった。グラフも式も、何を聞かれているのか分からないと言う。どこから教え直せばいいのか分からない。
結論からお伝えします。一次関数のつまずきの多くは、一次関数そのものではなく、中学1年生の「座標」「比例」「正負の数の計算」と、中学2年生の「連立方程式」にあります。この記事の確認問題6問を解くと、どこでつまずいているかが分かります。つまずいている場所まで戻ってから一次関数に進むのが、最も早い立て直し方です。
この記事は、オンライン学習塾マスネットが運営しています。保護者様が一緒に確認できるように、問題と答えを載せています。
一次関数とは何か
一次関数は、y ＝ ax ＋ b の形で表せる関係です。
| 記号 | 名前 | 意味 |
|---|---|---|
| a | 傾き（変化の割合） | x が 1 増えたときに、y がどれだけ増えるか |
| b | 切片 | x が 0 のときの y の値。グラフが y 軸と交わる点 |
例えば y ＝ 2x ＋ 3 なら、x が 1 増えるたびに y は 2 ずつ増え、x が 0 のとき y は 3 です。
b が 0 のとき、つまり y ＝ ax は、中学1年生で学んだ「比例」です。一次関数は、比例に b を足したものと考えると、つながりが見えます。
一次関数でつまずく5つの場所
| つまずく場所 | 学ぶ学年 | よくある間違い |
|---|---|---|
| 1. 座標 | 中学1年生 | (x, y) の順番を逆にする。負の数の点を取れない |
| 2. 比例 y ＝ ax | 中学1年生 | 負の数を代入したときの計算を間違える |
| 3. 変化の割合（傾き） | 中学2年生 | 「x の増加量」と「y の増加量」を逆に割る |
| 4. 式を求める | 中学2年生 | 傾きと1点、または2点から式を作れない |
| 5. 交点・文章題 | 中学2年生 | 2本の直線の交点を、連立方程式で求められない |
1と2は中学1年生、3から5は中学2年生の内容です。そして4と5は、方程式と連立方程式が解けることが前提になっています。
一次関数が分からない生徒さんの多くは、5つのうち前の方でつまずいています。 前でつまずいていると、後ろの内容はすべて分からなくなります。
どこでつまずいているかが分かる確認問題
次の6問を、何も見ずに解いてみてください。
問1（座標）
点 A(3, −2) は、原点から右に何、上下どちらに何進んだ点ですか。
問2（比例）
y ＝ 2x で、x ＝ −3 のときの y の値を求めなさい。
問3（変化の割合）
一次関数 y ＝ 3x − 5 で、x が 2 増えると、y はいくつ増えますか。
問4（傾きと1点から式を求める）
傾きが 2 で、点 (1, 5) を通る直線の式を求めなさい。
問5（2点から式を求める）
2点 (1, 3)、(3, 7) を通る直線の式を求めなさい。
問6（交点）
2つの直線 y ＝ x ＋ 1 と y ＝ −x ＋ 5 の交点の座標を求めなさい。
答えと解き方
| 問題 | 答え | 解き方 |
|---|---|---|
| 問1 | 右に3、下に2 | x 座標が 3、y 座標が −2。y が負の数なので下に進む |
| 問2 | y ＝ −6 | 2 × (−3) ＝ −6 |
| 問3 | 6 増える | 変化の割合は 3。x が 2 増えると、y は 3 × 2 ＝ 6 増える |
| 問4 | y ＝ 2x ＋ 3 | y ＝ 2x ＋ b に (1, 5) を代入。5 ＝ 2 ＋ b なので b ＝ 3 |
| 問5 | y ＝ 2x ＋ 1 | 傾きは (7 − 3) ÷ (3 − 1) ＝ 2。y ＝ 2x ＋ b に (1, 3) を代入して b ＝ 1 |
| 問6 | (2, 3) | x ＋ 1 ＝ −x ＋ 5 より 2x ＝ 4、x ＝ 2。y ＝ 2 ＋ 1 ＝ 3 |
間違えた問題から、戻る場所が分かる
| 間違えた問題 | 戻る場所 | 学年 |
|---|---|---|
| 問1 | 座標の読み方と点の取り方 | 中学1年生 |
| 問2 | 正負の数の計算、比例の式への代入 | 中学1年生 |
| 問3 | 変化の割合の意味 | 中学2年生 |
| 問4 | 一次方程式の解き方、式への代入 | 中学1年生・2年生 |
| 問5 | 傾きの求め方、一次方程式 | 中学2年生 |
| 問6 | 連立方程式の解き方 | 中学2年生 |
最も前で間違えた問題から戻ってください。 問2と問5を間違えた場合は、問2の「正負の数と比例」から始めます。問2が解けるようになると、問5の計算ミスも一緒に減ることが多くあります。
立て直しの手順
1. 表を書いてから、グラフを書く
一次関数が分からない生徒さんの多くは、いきなりグラフを書こうとしています。
まず x と y の表を作ってください。y ＝ 2x ＋ 3 なら、x が −1、0、1、2 のときの y を計算して表にします。表ができれば、点を取ってつなぐだけでグラフになります。
| x | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| y | 1 | 3 | 5 | 7 |
表を見ると、x が 1 増えるたびに y が 2 ずつ増えていることが分かります。これが「傾き 2」の意味です。
2. 「傾き」を言葉で説明できるようにする
「傾きは a」と覚えるだけでは、文章題で使えません。「x が 1 増えたとき、y がいくつ増えるか」と、言葉で説明できるようにしてください。
傾きが負の数なら、x が増えると y は減ります。y ＝ −2x ＋ 4 なら、x が 1 増えるたびに y は 2 ずつ減ります。
3. 式を求める問題は、型で覚える
式を求める問題は、ほぼ2つの型に分けられます。
| 与えられているもの | 手順 |
|---|---|
| 傾きと1点 | y ＝ ax ＋ b の a に傾きを入れ、点の x と y を代入して b を求める |
| 2点 | まず2点から傾きを求め、そのあとは「傾きと1点」と同じ手順 |
2つの型を、それぞれ5問ずつ続けて解くと、手順が身につきます。
4. 最後に文章題と交点に進む
文章題は、「何が x で、何が y か」を最初に書き出すところから始めます。交点は、2本の式を連立方程式として解くだけです。ここまで来れば、一次関数の基本は固まっています。
なぜ今、立て直しが必要なのか
一次関数は、中学2年生の2学期で終わる単元ではありません。
中学3年生では、y ＝ ax² の関数を学びます。一次関数の考え方が分かっていないと、ここでも同じようにつまずきます。
そして、公立高校入試の数学では、関数は毎年のように大問で出題される分野です。 一次関数と y ＝ ax² のグラフを組み合わせた問題は、配点も大きくなります。
中学2年生の今、一次関数を立て直しておくことは、高校入試の得点源を一つ作ることでもあります。
保護者様が一緒に確認するときのコツ
答えだけでなく、途中の式を見てください。 一次関数の間違いは、多くの場合、負の数の計算や代入の途中で起きています。答えが違ったら、どの行で間違えたかを一緒に探してください。
「どこまでは分かる？」と聞いてください。 「なんで分からないの」と聞かれると、生徒さんは答えられません。確認問題のどこまで解けたかを聞く方が、話が前に進みます。
教えることで、けんかになるなら任せてください。 家庭で教えると、関係が悪くなることがあります。そのときは、第三者に任せることも選択肢です。
現場で見えたこと
一次関数が分からないというご相談で答案を見ると、最も多い間違いは負の数の計算です。y ＝ −2x ＋ 1 に x ＝ −3 を代入して、−6 ＋ 1 としてしまう。符号を1つ落とすだけで、グラフも式もすべてずれます。
本人は「一次関数が分からない」と思っていますが、実際には中学1年生の正負の数でつまずいている。このケースが非常に多くあります。
そして、戻ることを嫌がる生徒さんも少なくありません。中学2年生なのに中学1年生の内容をやるのは、恥ずかしいと感じるからです。ただ、戻る部分は一次関数に必要なところだけです。正負の数の代入を数日練習しただけで、一次関数の問題が急に解けるようになった生徒さんを何度も見ています。
戻ることは遠回りではありません。 土台が固まると、今の単元の理解の速さが変わります。
よくある質問
Q. 一次関数が全く分かりません。何から始めればいいですか。
この記事の確認問題6問を解いて、最も前で間違えた問題から戻ってください。多くの場合、中学1年生の座標・比例・正負の数の計算から始めると、一次関数の理解が早くなります。
Q. 傾きとは何ですか。
x が 1 増えたときに、y がどれだけ増えるかを表す数です。y ＝ ax ＋ b の a が傾きで、変化の割合とも呼ばれます。
Q. 2点を通る直線の式はどう求めますか。
まず2点から傾きを求めます。傾きは「y の増加量 ÷ x の増加量」です。次に y ＝ ax ＋ b に傾きと1点の座標を代入して、b を求めます。
Q. 一次関数のグラフが書けません。
いきなりグラフを書かず、まず x と y の表を作ってください。x が −1、0、1、2 のときの y を計算して点を取れば、グラフになります。
Q. 一次関数は高校入試に出ますか。
関数は公立高校入試の数学で、毎年のように大問として出題される分野です。中学3年生で学ぶ y ＝ ax² と組み合わせた問題も多く出ます。
Q. 中学1年生の内容に戻る時間がありません。
戻るのは一次関数に必要な部分だけです。正負の数の代入や比例の式など、数日の練習で改善することも多くあります。戻らずに進む方が、結果的に時間がかかります。
次に読んでいただきたい記事
中間テストの結果を見て、塾を始めるかどうか迷っている場合はこちらをご覧ください。
→ 中間テストが悪かった今、塾を始めるべき？期末テストに間に合う条件と、始めるまでの最短スケジュール
数学の定期テストの勉強法全体については、こちらにまとめています。
一次関数でつまずいている方へ
一次関数のつまずきは、多くの場合、前の学年に原因があります。どこまで戻るかが分かれば、立て直しは早く進みます。
マスネットでは、2つの入口をご用意しています。
答案を見て、どこまで戻ればいいかをお伝えします。
中間テストの答案を写真で送っていただければ、一次関数のどこでつまずいているか、中学1年生のどの単元まで戻るべきかをお伝えします。入塾の勧誘はいたしません。
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