中1の比例と反比例が分からないときの立て直し方｜式の見分け方、負の数の代入、グラフのかき方の3つのつまずき
公開日 更新日 執筆：塾長 馬籠先生
2学期の期末テストの範囲に、比例と反比例が入ってきた。y＝ax と y＝a/x の違いが分からない、グラフがかけないと言う。家でどう教えればいいのか分からない。
結論からお伝えします。比例と反比例のつまずきは、ほとんどが「式の見分け方」「負の数の代入」「グラフのかき方」の3つに集中しています。比例は「x が2倍になると y も2倍」、反比例は「x が2倍になると y は半分」という変わり方の違いを言葉で押さえ、確認問題6問でつまずいている場所を見つけてください。比例は、中学2年生の一次関数の土台になる単元です。
この記事は、オンライン学習塾マスネットが運営しています。保護者様も一緒に確認できるように、問題と答えを載せています。
比例と反比例とは何か
| 比例 | 反比例 | |
|---|---|---|
| 式 | y ＝ ax | y ＝ a/x |
| 変わり方 | x が2倍、3倍になると、y も2倍、3倍になる | x が2倍、3倍になると、y は1/2倍、1/3倍になる |
| 一定になるもの | y ÷ x（＝ a） | x × y（＝ a） |
| グラフ | 原点を通る直線 | 双曲線（2つのなめらかな曲線） |
a は「比例定数」と呼ばれる数です。比例でも反比例でも、a が分かれば式が決まります。
比例と反比例を見分ける方法
文章題で比例か反比例かを見分けるときは、x と y の表を作って、変わり方を見るのが確実です。
| 問題 | 表の例 | 判断 |
|---|---|---|
| 1mあたり80円のリボンを x m買ったときの代金 y 円 | x が1、2、3 のとき、y は80、160、240 | x が2倍で y も2倍なので比例。y ＝ 80x |
| 面積が12cm²の長方形の、縦 x cm と横 y cm | x が1、2、3 のとき、y は12、6、4 | x が2倍で y は半分なので反比例。y ＝ 12/x |
「x × y が一定」になっているときは反比例、「y ÷ x が一定」になっているときは比例です。
どこでつまずいているかが分かる確認問題
次の6問を、何も見ずに解いてみてください。
問1（比例の値を求める）
y ＝ 3x で、x ＝ −4 のときの y の値を求めなさい。
問2（比例の式を求める）
y は x に比例し、x ＝ 2 のとき y ＝ −6 です。y を x の式で表しなさい。
問3（反比例の式を求める）
y は x に反比例し、x ＝ 3 のとき y ＝ 4 です。y を x の式で表しなさい。
問4（反比例の値を求める）
問3の式で、x ＝ −6 のときの y の値を求めなさい。
問5（グラフ）
y ＝ −2x のグラフは、原点ともう1つどの点を通りますか。x ＝ 1 のときの点で答えなさい。
問6（見分ける）
面積が12cm²の長方形の縦の長さを x cm、横の長さを y cm とするとき、y は x に比例しますか、反比例しますか。
答えと解き方
| 問題 | 答え | 解き方 |
|---|---|---|
| 問1 | y ＝ −12 | 3 ×（−4）＝ −12。正 × 負 は負 |
| 問2 | y ＝ −3x | y ＝ ax に x ＝ 2、y ＝ −6 を代入。−6 ＝ 2a より a ＝ −3 |
| 問3 | y ＝ 12/x | y ＝ a/x に代入。4 ＝ a/3 より a ＝ 12 |
| 問4 | y ＝ −2 | 12 ÷（−6）＝ −2 |
| 問5 | (1, −2) | x ＝ 1 のとき y ＝ −2 × 1 ＝ −2 |
| 問6 | 反比例 | 縦 × 横 ＝ 12 で一定なので、y ＝ 12/x |
間違えた問題から、つまずいている場所が分かる
| 間違えた問題 | つまずいている場所 | 戻る単元 |
|---|---|---|
| 問1、問4 | 負の数のかけ算・わり算 | 中学1年生の正負の数 |
| 問2、問3 | 式に代入して a を求める手順 | 中学1年生の方程式 |
| 問5 | 座標とグラフ | この単元の座標（点の取り方） |
| 問6 | 比例と反比例の見分け方 | 表を作って、変わり方を確かめる |
3つのつまずきの直し方
つまずき1：比例と反比例の式を取り違える
y ＝ ax と y ＝ a/x を、形だけで覚えていると取り違えます。「x が2倍になったら、y はどうなるか」を言葉で確かめてから、式を選んでください。
つまずき2：負の数を代入して間違える
比例と反比例では、x や a に負の数がよく出てきます。3 ×（−4）を 12 としてしまうなど、符号の間違いが最も多いつまずきです。
負の数を代入するときは、必ずかっこをつけて書いてください。3 × −4 ではなく、3 ×（−4）と書くと、符号の間違いが減ります。
正負の数の計算そのものがあいまいな場合は、そこに戻ってください。方程式の計算も、同じ力を使います。
→ 中1の方程式の文章題が解けないときの解き方｜式を立てる4つの手順と、よく出る5つの型
つまずき3：グラフがかけない
比例のグラフは、原点ともう1点を取れば直線が引けます。 y ＝ −2x なら、原点と (1, −2) を通る直線です。a が正なら右上がり、a が負なら右下がりになります。
反比例のグラフは、いくつかの点を取ってなめらかにつなぎます。 y ＝ 12/x なら、x が 1、2、3、4、6、12 のときの点を取ります。x が負のときも、同じように点を取ってください。グラフは2つの曲線になり、x 軸や y 軸とは交わりません。
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y ＝ 12/x | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
なぜ今、立て直したいのか
比例は、中学2年生で学ぶ一次関数の土台です。一次関数 y ＝ ax ＋ b は、比例 y ＝ ax に b を足したものです。
中学2年生で一次関数につまずく生徒さんの多くは、中学1年生の比例や座標、負の数の計算があいまいなままです。中学1年生の今、比例と反比例を立て直しておくと、中学2年生の一次関数で困りません。
→ 中2の一次関数が分からないときの立て直し方｜つまずく5つの場所と、中1の比例まで戻る手順
保護者様が一緒に確認するときのコツ
表を作らせてください。 比例か反比例か迷ったら、x と y の表を作るだけで、変わり方が見えます。
身近な例で考えてください。 買い物の代金（比例）、同じ距離を進むときの速さと時間（反比例）など、身近な場面に置き換えると理解しやすくなります。
負の数の計算を確認してください。 答えが違ったら、まず符号を見てください。つまずきの多くは、比例や反比例ではなく、負の数の計算にあります。
現場で見えたこと
比例と反比例の答案を見ると、最も多い間違いは負の数の計算です。式の立て方は合っているのに、代入したときの符号で間違えている。中学1年生の1学期に学んだ正負の数が、ここで表に出てきます。
もう一つは、比例と反比例の取り違えです。式の形だけで覚えている生徒さんは、文章題になると迷います。表を作って「x が2倍のとき y は？」と確かめる習慣をつけると、取り違えはほとんどなくなります。
比例と反比例は、期末テストで点数を取りやすい単元でもあります。表を作る、かっこをつけて代入する。この2つの手順を守るだけで、多くの失点は防げます。
よくある質問
Q. 比例と反比例の違いは何ですか。
比例は x が2倍になると y も2倍になる関係で、y ＝ ax と表します。反比例は x が2倍になると y が1/2倍になる関係で、y ＝ a/x と表します。
Q. 比例か反比例かは、どう見分けますか。
x と y の表を作って、変わり方を確かめてください。y ÷ x が一定なら比例、x × y が一定なら反比例です。
Q. 比例定数とは何ですか。
y ＝ ax や y ＝ a/x の a のことです。比例定数が分かれば、式が決まります。
Q. 比例のグラフはどうかけばいいですか。
原点ともう1点を取って、直線を引きます。y ＝ ax なら、原点と (1, a) を通ります。
Q. 反比例のグラフはどうかけばいいですか。
いくつかの点を取って、なめらかな曲線でつなぎます。グラフは2つの曲線になり、x 軸や y 軸とは交わりません。
Q. 比例と反比例は、中学2年生でも使いますか。
使います。比例は、中学2年生の一次関数の土台になります。
次に読んでいただきたい記事
小学校の割合や速さからつまずいている場合は、こちらもご覧ください。
→ 小学5年生の割合・速さが分からないときの教え方｜「もとにする量」を見つける手順と、公式に頼らない考え方
比例と反比例でつまずいている方へ
比例と反比例のつまずきは、多くの場合、負の数の計算と、式の見分け方にあります。どこで止まっているかが分かれば、立て直しは早く進みます。
マスネットでは、2つの入口をご用意しています。
答案を見て、どこでつまずいているかをお伝えします。
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