中1の平面図形が分からないときの解き方｜おうぎ形の弧の長さ・面積・中心角の求め方と、作図3つの使い分け

数学が平面図形に入ってから、急に分からなくなった。おうぎ形の公式に 360 が出てきて、どこに何を入れればいいのか分からない。作図の問題も、垂直二等分線と角の二等分線のどちらをかけばいいのか迷ってしまう。期末テストや学年末テストの範囲に入っていて、焦っている。

結論からお伝えします。中学1年生の平面図形のつまずきは、「おうぎ形を円の何分のいくつかと考えられない」「おうぎ形の周の長さで半径を足し忘れる」「作図で、問題文の言葉からどの作図を使うかを選べない」の3つに集中しています。おうぎ形は円全体 × 中心角/360 と考え、作図は問題文の言葉と作図を1対1で対応させる表で覚えれば、平面図形の問題は解けるようになります。

この記事は、オンライン学習塾マスネットが運営しています。保護者様も一緒に確認できるように、問題と答えを載せています。

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平面図形は、どの時期に学ぶか

平面図形は、多くの教科書で、中学1年生の比例と反比例のあとに学ぶ単元です。2学期の期末テストか、3学期の学年末テストの範囲に入ります。

平面図形は、中学2年生の図形の証明や、中学3年生の円周角の定理の土台になります。

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おうぎ形は、「円の何分のいくつか」で考える

おうぎ形は、円を中心角で切り取った形です。中心角が360°のとき、おうぎ形は円全体になります。 だから、おうぎ形の弧の長さと面積は、円全体の 中心角/360 で求められます。

中心角が90°なら円の 1/4、60°なら円の 1/6、120°なら円の 1/3 です。公式を覚えるより、「このおうぎ形は円の何分のいくつか」と先に考える方が、間違えにくくなります。

中学1年生では、円周率を π（パイ）という文字で表し、答えにも π を残します。

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どこでつまずいているかが分かる確認問題

次の6問を、何も見ずに解いてみてください。

問1（弧の長さ）
半径6cm、中心角60°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。

問2（面積）
半径6cm、中心角60°のおうぎ形の面積を求めなさい。

問3（中心角）
半径9cm、弧の長さが 6π cm のおうぎ形の中心角を求めなさい。

問4（周の長さ）
半径4cm、中心角90°のおうぎ形の周の長さを求めなさい。

問5（作図の選び方）
2点A、Bから等しい距離にある点を作図するとき、何を作図しますか。

問6（作図の選び方）
角AOBの2辺OA、OBから等しい距離にある点を作図するとき、何を作図しますか。

答えと解き方

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間違えた問題から、つまずいている場所が分かる

問1で、π × 6 × 2 の計算や分数のかけ算で間違えている場合は、小学校の円と分数に原因があります。

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3つのつまずきの直し方

つまずき1：おうぎ形の公式に、どこに何を入れるか分からない

公式を丸暗記していると、問3のように中心角を求める問題で手が止まります。

最初に「円全体の何分のいくつか」を書いてください。

中心角を求める問題は、逆に考えます。弧の長さが円周の 1/3 なら、中心角は 360° の 1/3 で 120° です。

つまずき2：おうぎ形の周の長さで、半径を足し忘れる

問4で最も多い間違いが、弧の長さの 2π cm だけを答える間違いです。

おうぎ形の周は、曲がった線（弧）1本と、まっすぐな線（半径）2本でできています。

問題文の「弧の長さ」と「周の長さ」の違いに、必ず線を引いてください。

つまずき3：作図で、どれをかけばいいか選べない

作図の手順は覚えていても、問題文を読んでどの作図を使うかを選べない生徒さんが多くいます。問題文の言葉と作図を、1対1で対応させて覚えてください。

作図では、コンパスでかいた線を消さずに残すことも大切です。定期テストでは、作図の線が残っていないと減点されることがあります。

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保護者様が一緒に確認するときのコツ

「このおうぎ形は、円の何分のいくつ？」と聞いてください。 すぐに答えられれば、おうぎ形の考え方は理解できています。

図に、半径と中心角を書き込んでいるかを見てください。 問題文の数字を図に書き込む習慣があると、周の長さで半径を足し忘れる間違いが減ります。

作図の問題では、「どの言葉で、この作図を選んだ？」と聞いてください。 問題文の言葉を指させれば、作図の使い分けができています。

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現場で見えたこと

平面図形の答案を見ると、おうぎ形でつまずいている生徒さんの多くは、公式を丸暗記していて、360 が何を意味しているのかが分かっていません。

「中心角が360°なら円全体」「90°なら円の 1/4」と、時計やピザの絵で確かめると、多くの生徒さんがすぐに公式の意味をつかみます。公式の意味が分かると、中心角を求める問題も、自分で式を立てられるようになります。

もう一つは、作図です。作図の手順は教科書どおりにかけるのに、問題文を読んでどの作図を使うかで迷う生徒さんがたくさんいます。問題文の言葉と作図の対応表を1枚作るだけで、作図の問題の正答率は大きく変わります。

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よくある質問

Q. おうぎ形の弧の長さの求め方を教えてください。
半径 r、中心角 a°のおうぎ形の弧の長さは、2πr × a/360 です。円周の 中心角/360 と考えます。

Q. おうぎ形の面積の求め方を教えてください。
半径 r、中心角 a°のおうぎ形の面積は、πr² × a/360 です。円の面積の 中心角/360 と考えます。

Q. おうぎ形の中心角は、どう求めますか。
弧の長さが円周の何分のいくつかを求め、360°にかけます。半径9cm、弧の長さ 6π cm なら、円周 18π cm の 1/3 なので、中心角は120°です。

Q. おうぎ形の周の長さと弧の長さは、何が違いますか。
弧の長さは曲がった線の部分だけです。周の長さは、弧の長さに半径2本分を足した長さです。

Q. 垂直二等分線と角の二等分線は、どう使い分けますか。
「2点から等しい距離」なら垂直二等分線、「角の2辺から等しい距離」なら角の二等分線を使います。

Q. 平面図形は、高校入試に出ますか。
作図やおうぎ形の計算は、多くの都道府県の公立高校入試で出題されます。中学2・3年生の図形の土台にもなる単元です。

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次に読んでいただきたい記事

平面図形の前に学ぶ比例と反比例でつまずいている場合はこちらをご覧ください。

→ 中1の比例と反比例が分からないときの立て直し方｜式の見分け方、負の数の代入、グラフのかき方の3つのつまずき

中学2年生で学ぶ図形の証明の書き方は、こちらにまとめています。

→ 中2の図形の証明が書けないときの書き方｜仮定と結論の見つけ方、合同条件3つと、そのまま使える証明の型

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平面図形でつまずいている方へ

平面図形のつまずきは、多くの場合、おうぎ形の考え方、周の長さ、作図の選び方の3つにあります。小学校の円や分数に原因があることもあります。どこで止まっているかが分かれば、次のテストまでに立て直せます。

マスネットでは、2つの入口をご用意しています。

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