比例と反比例とは｜式・グラフ・求め方を基礎から解説【中学1年生】
公開日 更新日 執筆：塾長 馬籠先生
比例と反比例が分からない。式は覚えたけれど、グラフになると手が止まる。文章題では何をすればいいか浮かばない。
結論から言うと、比例と反比例でやることは3つだけです。式の形を覚える、グラフの形を覚える、式の求め方を覚える。この3つが押さえられれば、定期テストの大半は取れます。
オンライン学習塾マスネットでは、定期テストの点数アップに特化した指導を行っています。この記事では、比例と反比例を順番に解説します。
なぜこの単元が重要なのか
先に伝えておきたいことがあります。
比例と反比例は、中学3年間の関数の土台です。
中学2年生で習う一次関数、中学3年生で習う二次関数。どちらも、この単元の考え方がそのまま使われます。
そして高校では、さらに多くの関数が出てきます。
ここでつまずいたまま進むと、中学2年生・3年生で必ず苦労します。逆に、ここを固めておけば後が楽になります。
時間をかける価値がある単元です。
比例とは
比例の式
比例は、次の形で表されます。
y＝ax
このaには、具体的な数字が入ります。
y＝2x
y＝−3x
y＝(1/2)x
これらはすべて比例です。
このaを比例定数といいます。
比例の意味
xが2倍、3倍になると、yも2倍、3倍になる。これが比例の関係です。
y＝3xで確認します。
x＝1のとき、y＝3
x＝2のとき、y＝6
x＝3のとき、y＝9
xが2倍になるとyも2倍、xが3倍になるとyも3倍になっています。
比例定数aの意味
xが1のとき、yはいくつになるか。これがaです。
y＝3xなら、x＝1のときy＝3です。だから比例定数は3です。
別の言い方をすると、y÷xの値が常にaになります。
x＝2、y＝6なら、6÷2＝3
x＝3、y＝9なら、9÷3＝3
どこで計算しても3になる。これが比例の特徴です。
比例のグラフ
比例のグラフは、原点を通る直線です。
覚えるべき2つのこと
1つ目：必ず原点(0, 0)を通る。
y＝axにx＝0を入れると、y＝0になります。だから必ず原点を通ります。
2つ目：aの符号で向きが決まる。
aがプラスなら、右上がりの直線。
aがマイナスなら、右下がりの直線。
描き方の手順
手順1：原点に点を打つ。
手順2：xに適当な数字を入れて、もう1つ点を求める。
y＝2xなら、x＝1のときy＝2。点(1, 2)に点を打ちます。
手順3：2点を直線で結ぶ。
これだけです。直線は2点が決まれば引けます。
計算しやすい数字を選んでください。分数が出る場合は、分母の数をxに入れると整数になります。
y＝(2/3)xなら、x＝3を入れるとy＝2になります。
反比例とは
反比例の式
反比例は、次の形で表されます。
y＝a÷x
分数の形で書くと、y＝a/xです。
y＝6/x
y＝−12/x
これらが反比例です。
このaも比例定数といいます。
反比例の意味
xが2倍、3倍になると、yは半分、3分の1になる。これが反比例です。
y＝12/xで確認します。
x＝1のとき、y＝12
x＝2のとき、y＝6
x＝3のとき、y＝4
x＝4のとき、y＝3
xが2倍になるとyは半分、xが3倍になるとyは3分の1になっています。
比例定数aの意味
xとyをかけた値が、常にaになります。
x＝1、y＝12なら、1×12＝12
x＝2、y＝6なら、2×6＝12
x＝3、y＝4なら、3×4＝12
どこで計算しても12になる。これが反比例の特徴です。
比例はy÷x、反比例はx×y。この違いを押さえてください。
反比例のグラフ
反比例のグラフは、双曲線という曲線になります。
覚えるべき3つのこと
1つ目：2つの曲線に分かれる。
直線ではありません。なめらかな曲線が2本描かれます。
2つ目：原点を通らない。
x＝0のとき、yの値が存在しません。0で割ることはできないためです。
そのため、グラフは原点を通りません。また、x軸やy軸に触れることもありません。
3つ目：aの符号で位置が決まる。
aがプラスなら、右上と左下の2か所。
aがマイナスなら、左上と右下の2か所。
描き方の手順
手順1：表を作る。
y＝6/xなら、xに整数を入れてyを求めます。
x＝1のとき、y＝6
x＝2のとき、y＝3
x＝3のとき、y＝2
x＝6のとき、y＝1
マイナスの値も忘れないでください。
x＝−1のとき、y＝−6
x＝−2のとき、y＝−3
手順2：点を打つ。
手順3：なめらかな曲線で結ぶ。
定規は使いません。直線で結ぶと間違いになります。
式を求める問題
定期テストで最も出るのが、この形です。
比例の式を求める
「yはxに比例し、x＝3のときy＝12である。yをxの式で表しなさい」
手順1：y＝axとおく。
比例なので、y＝axの形です。
手順2：与えられた値を代入する。
x＝3、y＝12を入れます。
12＝a×3
手順3：aを求める。
12＝3a
a＝4
答え：y＝4x
反比例の式を求める
「yはxに反比例し、x＝2のときy＝9である。yをxの式で表しなさい」
手順1：y＝a/xとおく。
手順2：与えられた値を代入する。
x＝2、y＝9を入れます。
9＝a/2
手順3：aを求める。
両辺に2をかけて、a＝18
答え：y＝18/x
反比例の場合、x×y＝aなので、2×9＝18と計算しても同じです。こちらの方が速く求められます。
グラフから式を求める
グラフ上の点を1つ読み取れば、式が作れます。
比例のグラフで、点(2, 6)を通っているとします。
y＝axに代入すると、6＝2a となり、a＝3
答え：y＝3x
グラフの問題では、格子点（座標が整数になる点）を探してください。読み取りやすい点が必ずあります。
つまずきやすいポイント
ポイント1：比例と反比例を混同する
最も多いつまずきです。
比例はy＝ax、反比例はy＝a/x。
見分け方は、xが分母にあるかどうかです。
そして、aの求め方も違います。
比例：y÷x＝a
反比例：x×y＝a
ここを混同すると、すべての問題で間違えます。
ポイント2：反比例のグラフを直線で描く
反比例のグラフは曲線です。
点を打った後、定規で結んでしまうミスが多くあります。必ずなめらかな曲線で結んでください。
また、2本の曲線になることも忘れやすい点です。プラスの範囲だけ描いて終わらせないでください。
ポイント3：原点を通るかどうか
比例は必ず原点を通ります。
反比例は絶対に原点を通りません。
グラフの問題で迷ったら、まずここを確認してください。
ポイント4：座標の読み取り
点の座標は(x, y)の順です。
これが正確にできないと、グラフの問題で必ず失点します。
負の数が入ると混乱するケースもあります。心当たりがあれば、座標の基本から確認してください。
文章題の解き方
文章題は、次の手順で進めます。
手順1：比例か反比例かを見分ける
「比例する」「反比例する」と書いてあれば、そのまま使います。
書いていない場合は、関係から判断します。
xが増えるとyも増える → 比例
xが増えるとyは減る → 反比例
手順2：式の形を書く
比例ならy＝ax、反比例ならy＝a/x と書きます。
手順3：与えられた値を代入してaを求める
問題文にある「x＝〜のときy＝〜」という条件を使います。
手順4：求めた式で、聞かれていることに答える
式ができたら、問題が聞いている値を代入します。
よく出る文章題のパターン
歯車の問題
「歯車Aの歯数と回転数」
歯数が多いほど回転数は少なくなります。これは反比例です。
仕事の問題
「人数と作業にかかる日数」
人数が多いほど日数は短くなります。これも反比例です。
代金の問題
「品物の個数と代金」
個数が増えれば代金も増えます。これは比例です。
速さの問題
「一定の速さで進むときの、時間と道のり」
時間が増えれば道のりも増えます。比例です。
「一定の道のりを進むときの、速さと時間」
速さが上がれば時間は短くなります。反比例です。
同じ速さの問題でも、何が一定かで変わります。問題文を丁寧に読んでください。
定期テストで点を取るために
次の順序で進めてください。
1. 式の形を覚える
比例はy＝ax、反比例はy＝a/x。これを迷わず書けるようにします。
2. aの求め方を覚える
比例はy÷x、反比例はx×y。この違いを確実にします。
3. グラフを描く練習
比例は原点と1点を結ぶ直線。反比例は表を作って曲線。それぞれ5問程度で手順を体に入れます。
4. ワークの問題を3周する
1周目で全問解き、間違えた問題に印をつける。2周目以降は印のついた問題だけを解き直す。
5. 文章題に進む
基本が固まってから、応用に進みます。
現場で見えたこと
ここからは、マスネットで実際に見えたことを書きます。
この単元の指導で最も多く見るのが、比例定数aの意味を理解していない状態です。
「y＝axのaは比例定数です」と覚えている。しかし、それが何を表しているかは分かっていない。
比例なら、y÷xの値。反比例なら、x×yの値。
この理解があると、式を求める問題が一気に速くなります。反比例で「x＝2、y＝9」と与えられたら、2×9＝18とすぐに計算できます。
もう一つ、反比例のグラフを直線で描くというミスです。
点を打つところまでは正しい。しかし定規で結んでしまう。
反比例は曲線です。この一点で失点するのは、非常にもったいないことです。
そして、この単元の影響の大きさについてです。
中学2年生の一次関数が分からない生徒さんを見ると、中学1年生の比例で止まっているケースが非常に多くあります。
y＝axのaが何を表しているか。ここが曖昧なまま一次関数に入ると、変化の割合も切片も理解できません。
比例を固めることは、中学3年間の関数を支えることです。
宿題システムの記録を見ても、基礎に戻って埋め直した生徒さんは、その後の伸び方が速い傾向がありました。
よくある質問
Q. 比例と反比例の違いは何ですか。
比例はy＝ax、反比例はy＝a/xです。比例はxが2倍になるとyも2倍、反比例はxが2倍になるとyは半分になります。
Q. 比例定数の求め方が分かりません。
比例はy÷x、反比例はx×yで求まります。この違いを押さえてください。
Q. 反比例のグラフが描けません。
まず表を作り、xに整数を入れてyを求めます。マイナスの値も含めて点を打ち、なめらかな曲線で結びます。定規は使いません。
Q. グラフが原点を通るかどうかで迷います。
比例は必ず原点を通り、反比例は絶対に通りません。反比例はx＝0のときyが存在しないためです。
Q. 文章題で比例か反比例かが分かりません。
xが増えてyも増えるなら比例、xが増えてyが減るなら反比例です。歯車や人数と日数は反比例、個数と代金は比例になります。
Q. この単元は後で使いますか。
使います。中学2年生の一次関数、中学3年生の二次関数の土台です。ここでつまずくと、その後の関数がすべて苦しくなります。
練習問題で仕上げたい方へ
比例と反比例は、手順を覚えて繰り返せば確実に点が取れる単元です。
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つまずきの特定から相談したい方へ
どこで止まっているかは、簡単な問題から順に確認すれば分かります。式なのか、グラフなのか、文章題なのか。
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