連立方程式の解き方｜加減法と代入法を使い分ける基準【中学2年生】
公開日 更新日 執筆：塾長 馬籠先生
連立方程式は解けるようになったが、どちらの方法を使えばいいか迷う。文章題になると手が止まる。
結論から言うと、連立方程式でやることは2つだけです。文字を1つ消すこと、そして残った方程式を解くこと。加減法と代入法は、どちらも文字を消すための手段です。
オンライン学習塾マスネットでは、定期テストの点数アップに特化した指導を行っています。この記事では、連立方程式を基礎から解説します。
連立方程式とは何か
2つの式を同時に満たす
連立方程式とは、2つ以上の方程式を組み合わせたものです。
例えば、次のような形です。
x＋y＝5
x−y＝1
この2つの式を、同時に満たすxとyを求めます。
上の式だけなら、x＝1でy＝4でも、x＝2でy＝3でも成り立ちます。しかし下の式も同時に満たす組み合わせは、1つに決まります。
この場合、x＝3、y＝2です。両方の式に入れて確認すると、どちらも成り立ちます。
なぜ2つの式が必要か
文字が2つある場合、式が1つでは答えが決まりません。
文字が2つなら式が2つ、文字が3つなら式が3つ。この対応を覚えておいてください。
解き方の基本は「文字を消す」
連立方程式の解き方は、すべて同じ考え方です。
まず文字を1つ消して、文字が1つだけの方程式にする。そして、中学1年生で習った方程式の解き方で解く。
文字を消す方法が2つあり、それが加減法と代入法です。
どちらを使っても答えは同じです。問題によって、やりやすい方を選びます。
加減法
2つの式を足したり引いたりして、文字を消す方法です。
基本の形
x＋y＝5 …①
x−y＝1 …②
①と②を足してみます。
左辺どうし、右辺どうしを足します。
(x＋y)＋(x−y)＝5＋1
yが消えて、2x＝6 となります。
x＝3
これを①に代入します。
3＋y＝5
y＝2
答え：x＝3、y＝2
係数を揃える場合
そのまま足し引きしても文字が消えない場合は、係数を揃えます。
2x＋3y＝13 …①
x＋y＝5 …②
このままでは、足しても引いてもどちらの文字も消えません。
そこで、②を2倍します。
②×2：2x＋2y＝10 …③
①から③を引きます。
(2x＋3y)−(2x＋2y)＝13−10
xが消えて、y＝3 となります。
これを②に代入します。
x＋3＝5
x＝2
答え：x＝2、y＝3
加減法の手順
手順1：消したい文字を決める。
手順2：その文字の係数を揃える。（片方または両方を何倍かする）
手順3：足すか引くかを決める。（符号が同じなら引く、違うなら足す）
手順4：残った文字の方程式を解く。
手順5：求めた値をどちらかの式に代入して、もう一方を求める。
代入法
片方の式をもう片方に代入して、文字を消す方法です。
基本の形
y＝2x−1 …①
3x＋y＝9 …②
①はyについて解かれています。このyを、②に代入します。
3x＋(2x−1)＝9
yが消えました。
3x＋2x−1＝9
5x＝10
x＝2
これを①に代入します。
y＝2×2−1
y＝3
答え：x＝2、y＝3
代入するときの注意
代入する式には、必ず括弧をつけてください。
上の例では、3x＋(2x−1)＝9 と書きました。
括弧をつけずに 3x＋2x−1＝9 と書いても今回は同じですが、引き算が入ると符号を間違えます。
例えば、3x−y＝5 に y＝2x−1 を代入する場合。
正しい書き方：3x−(2x−1)＝5
間違えやすい書き方：3x−2x−1＝5
括弧をつけると、3x−2x＋1＝5 となります。符号が変わる点に注意してください。
どちらを使うか
判断の基準はシンプルです。
代入法を使う場面
「y＝〜」や「x＝〜」の形になっている式がある場合です。
y＝2x−1
x＝3y＋4
こうした形が最初から与えられていれば、代入法が速くなります。
また、x＝やy＝の形に変形しやすい場合も代入法が使えます。
加減法を使う場面
それ以外は、基本的に加減法です。
2x＋3y＝13
5x−2y＝4
このような形なら、加減法の方が確実です。
迷ったら加減法
どちらでも解ける問題は多くあります。
迷ったときは、加減法を使ってください。係数を揃えて足し引きする手順は機械的で、ミスが起きにくい方法です。
つまずきやすいポイント
ポイント1：符号のミス
連立方程式で最も多い失点です。
引き算をするとき、後ろの式全体の符号が変わります。
(2x＋3y)−(2x＋2y)
これは 2x＋3y−2x−2y となります。3yから2yを引くのであって、3y−2yの「−2y」の符号を忘れないでください。
対処は、括弧をつけて書くことです。慣れるまでは省略しないでください。
ポイント2：代入するときの括弧
上でも触れましたが、代入時の括弧の省略が失点につながります。
特に引き算の場面です。必ず括弧をつけてから展開してください。
ポイント3：答えを求めた後で止まる
xを求めて満足してしまうケースです。
連立方程式の答えは、xとyの両方です。片方だけでは答えになりません。
xを求めたら、必ずどちらかの式に代入してyを求めてください。
ポイント4：検算をしない
求めたxとyを、元の2つの式に代入してください。
両方が成り立てば正解です。片方でも成り立たなければ、どこかで計算を間違えています。
検算は10秒程度で終わります。この習慣があるだけで、失点が大きく減ります。
文章題の解き方
定期テストでは、文章題が必ず出ます。
手順は決まっています。
手順1：何をxとyにするか決める
多くの場合、求めたいものをxとyにします。
「りんごとみかんの個数を求めなさい」なら、りんごの個数をx、みかんの個数をyとします。
最初に「xを〜、yを〜とする」と書いてください。これは答案でも必要な記述です。
手順2：式を2つ作る
文章の中から、2つの関係を見つけます。
「合計で10個」なら、x＋y＝10
「合計金額が800円」なら、金額の式
文章題では、この2つ目の式を見つけるのが難しいことが多くあります。
手順3：連立方程式を解く
加減法か代入法で解きます。
手順4：答えが問題に合うか確認する
個数を聞かれているのに負の数が出たら、どこかで間違えています。
また、聞かれたものを答えているかも確認してください。xとyを求めても、問題が聞いているのが別のものである場合があります。
よく出る文章題のパターン
個数と代金
「1個80円のりんごと1個120円のみかんを合わせて10個買ったら、代金は1000円だった」
個数の式：x＋y＝10
代金の式：80x＋120y＝1000
速さ
「A地点からB地点まで、行きは時速4km、帰りは時速6kmで往復した」
速さの問題では、道のり＝速さ×時間の関係を使います。
何をxとyにするかで式が変わります。時間をxとyにするか、道のりをxとyにするか。問題文から判断してください。
割合
「昨年より男子が10%増え、女子が5%減った」
増えた場合は1.1倍、減った場合は0.95倍と考えます。
「10%増えた」を「0.1x」と書くミスが多くあります。増えた分ではなく、増えた後の人数を式にしてください。
定期テストで点を取るために
次の順序で進めてください。
1. 加減法の基本を確実にする
係数が揃っている問題から始め、係数を揃える問題に進みます。10問程度で手順を体に入れてください。
2. 代入法を練習する
「y＝〜」の形がある問題で練習します。括弧をつける習慣をここで作ります。
3. 使い分けを判断する練習
複数の問題を見て、どちらで解くかを判断します。迷ったら加減法で構いません。
4. ワークの問題を3周する
1周目で全問解き、間違えた問題に印をつける。2周目以降は印のついた問題だけを解き直す。
5. 文章題に進む
計算が確実になってから、文章題に取り組みます。パターンごとに、式の作り方を確認してください。
現場で見えたこと
ここからは、マスネットで実際に見えたことを書きます。
連立方程式の指導で最も多く見るのが、符号のミスです。
解き方は理解している。手順も合っている。しかし引き算のところで符号を間違える。
対処は、括弧をつけて書くことです。
「(2x＋3y)−(2x＋2y)」と書いてから展開する。この一手間で、失点が大きく減ります。慣れてきたら省略しても構いませんが、最初は必ず書いてください。
もう一つ、検算をしないという問題があります。
連立方程式は、求めた答えを元の式に入れれば、正解かどうかがすぐ分かります。
これほど検算しやすい単元は他にありません。それにもかかわらず、検算をしている生徒さんは少ないのが実情です。
10秒で終わる作業です。これを習慣にするだけで、テストの点数が変わります。
そして、文章題についてです。
計算はできるのに文章題で止まる生徒さんが多くいます。話を聞くと、2つ目の式が作れないというケースがほとんどです。
1つ目の式（個数や合計）は作れる。しかし2つ目の関係が見つけられない。
対処は、パターンを知ることです。個数と代金、速さ、割合。よく出る型を押さえておくと、文章の中から探すべきものが分かります。
宿題システムの記録を見ても、文章題をパターンごとに繰り返した生徒さんは、定期テストでの失点が明確に減っています。
よくある質問
Q. 加減法と代入法、どちらを使えばいいですか。
「y＝〜」や「x＝〜」の形の式があれば代入法、それ以外は加減法が基本です。迷ったら加減法を使ってください。手順が機械的でミスが起きにくい方法です。
Q. 符号のミスが減りません。
括弧をつけて書いてください。「(2x＋3y)−(2x＋2y)」と書いてから展開します。慣れるまでは省略しないでください。
Q. 代入するときの注意点はありますか。
必ず括弧をつけてください。特に引き算の場面では、括弧がないと符号を間違えます。
Q. 検算はしたほうがいいですか。
してください。求めたxとyを元の2つの式に代入し、両方成り立つか確認します。10秒程度で終わり、失点が大きく減ります。
Q. 文章題で式が作れません。
2つ目の式が見つけられないケースが多くあります。個数と代金、速さ、割合。よく出るパターンを押さえると、探すべきものが分かります。
Q. 答えは何を書けばいいですか。
xとyの両方です。片方だけでは答えになりません。また、問題が聞いているのがxとyそのものか、別のものかも確認してください。
練習問題で仕上げたい方へ
連立方程式は、手順を覚えて繰り返せば確実に点が取れる単元です。
マスネットでは、無料で使える練習問題を公開しています。学校のワークと並行して、演習量を確保する用途にお使いください。
つまずきの特定から相談したい方へ
どこで止まっているかは、簡単な問題から順に確認すれば分かります。計算なのか、使い分けなのか、文章題なのか。
マスネットの中学生コースでは、つまずきの診断から、テスト範囲の仕上げまで一緒に進めています。
