中2数学の確率が分からないときの解き方｜樹形図・さいころの表・「同様に確からしい」を例題で整理
公開日 更新日 執筆：塾長 馬籠先生
中2数学の確率が分からないときの解き方｜樹形図・さいころの表・「同様に確からしい」を例題で整理
中学数学の確率は、同じ起こりやすさの結果に分けて、すべての場合と条件に合う場合を数えることが基本です。
「分母に何を書けばよいか分からない」「さいころの和を数えると答えが違う」。この場合、分数の計算より前に、何を1通りとして数えているかを確認しましょう。
この記事では、公平な硬貨やさいころを使い、それぞれの試行が独立である通常の設定を前提に説明します。
確率の公式を使う前に確認すること
起こりうる個々の結果が同様に確からしいとき、次の式を使えます。
確率＝条件に合う場合の数÷すべての場合の数
「同様に確からしい」とは、数えている個々の結果が、同じ程度に起こると考えられることです。
結果を大ざっぱに分類しただけでは、この条件を満たさないことがあります。たとえば2個のさいころの和は2〜12ですが、和が2になる場合と7になる場合は、起こりやすさが違います。
解き始める前の4項目
| 確認する条件 | 例 |
|---|---|
| 何を使うか | 硬貨2枚、さいころ2個、袋の玉 |
| 順番・区別 | 1回目と2回目、大きいさいころと小さいさいころ |
| 戻すかどうか | 取り出した玉を戻してから次を引くか |
| 求める条件 | 両方、ちょうど1回、少なくとも1回 |
「少なくとも1回」と「ちょうど1回」は違います。問題文の条件を短く書き出してから、樹形図や表を作りましょう。
例題1｜硬貨を2回投げる問題は樹形図で数える
公平な硬貨を2回投げるとき、表がちょうど1回出る確率を求めます。
1回目が表なら、2回目は表または裏。1回目が裏なら、2回目も表または裏です。
すべての結果は、次の4通りです。
- 表→表
- 表→裏
- 裏→表
- 裏→裏
この4通りは同様に確からしいと考えられます。表がちょうど1回出るのは「表→裏」「裏→表」の2通りです。
2÷4＝1/2
「表2回・表1回・表0回」の3種類にまとめて、1/3とするのは誤りです。「表1回」には2通りが含まれており、3種類の起こりやすさは同じではありません。
例題2｜2個のさいころは36マスの表で数える
区別できる公平なさいころA・Bを1回ずつ投げ、目の和が7になる確率を考えます。
Aの目は6通り、それぞれについてBの目が6通りあるので、すべての場合は6×6＝36通りです。
| A＼B | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ○ | |||||
| 2 | ○ | |||||
| 3 | ○ | |||||
| 4 | ○ | |||||
| 5 | ○ | |||||
| 6 | ○ |
和が7になるのは6通りなので、確率は6/36＝1/6です。
Aが1・Bが6と、Aが6・Bが1は、別の結果です。順番やさいころの区別を途中で消さないようにしましょう。
例題3｜同じ色の玉も、印をつけて区別する
袋に赤玉2個、白玉1個があり、どの玉も同じ確率で選ばれるものとします。1個取り出して戻さず、続けてもう1個取り出すとき、2個とも赤である確率を求めます。
赤玉に赤①・赤②、白玉に白と名前をつけます。
| 1個目 | 2個目 |
|---|---|
| 赤① | 赤② |
| 赤① | 白 |
| 赤② | 赤① |
| 赤② | 白 |
| 白 | 赤① |
| 白 | 赤② |
この6通りは同様に確からしく、両方赤は2通りです。確率は2/6＝1/3になります。
色だけで「赤赤・赤白・白赤」の3種類に分けても、今回は各種類に2通りずつ含まれるため同じ答えになります。しかし、色の個数が変わると同じ数ずつ含まれるとは限りません。基本練習では、玉を区別して数える方法が確実です。
「戻す・戻さない」で、枝の数が変わる
前の例では、1個目を戻さないため、2個目の候補は残り2個です。
取り出すたびに玉を戻し、よく混ぜる場合は、2回目も3個から選びます。すべての場合は3×3＝9通り、赤を2回引く場合は2×2＝4通りなので、確率は4/9です。
同じ袋の問題でも、条件が変わると答えが変わります。樹形図の2段目を描く前に、「今、袋の中に何が残っているか」を確認しましょう。
「少なくとも1回」は、反対側を数える方法もある
公平な硬貨を3回投げて、少なくとも1回表が出る確率を求めます。
すべての場合は2×2×2＝8通りです。表が一度も出ないのは「裏→裏→裏」の1通りだけです。
したがって、求める確率は1−1/8＝7/8です。
「少なくとも1回」は、1回・2回・3回を含みます。反対の「1回もない」を数えると簡単になる場合があります。
確認問題
公平な硬貨・さいころを使うものとして、考えてみましょう。
- さいころ2個の目が同じになる確率。
- 硬貨3回で、表がちょうど2回出る確率。
- 赤玉2個・白玉1個から、戻さず2個取り出して、色が異なる確率。
解答
- （1,1）〜（6,6）の6通り。6/36＝1/6。
- 表表裏・表裏表・裏表表の3通り。3/8。
- 玉を区別した6通りのうち4通り。4/6＝2/3。
間違えた場合は、分母と分子のどちらで数え漏れたかを記録します。
よくある質問
いつも樹形図を描く必要がありますか？
必ずではありません。2つの結果を組み合わせる問題は表、段階的な選択は樹形図が使いやすい場合があります。まず数え方が正しいことを確認し、慣れてから省略しましょう。
2個を同時に取り出す問題でも区別できますか？
玉に番号をつけ、順番を考えない組として数える方法などがあります。分母と分子で同じ数え方を使うことが重要です。
解答だけでなく、数えた図を残して相談しよう
確率の誤答では、完成した分数だけを見ても原因が分かりにくいことがあります。樹形図や表、印をつけた条件を残しておきましょう。
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